☆ Racine entière, irrationnelle ? - Vers le supérieur

Énoncé

On considère le polynôme \(P(x)=x^2+ax+b\) avec \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) .

1. Montrer que si \(P(\alpha)=0\) et si \(\alpha \in \mathbb{Q}\) , alors \(\alpha \in \mathbb{Z}\) .

2. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) , le nombre \(\sqrt{n}\) est soit entier, soit irrationnel.